Wie kommt man in wenigen Zügen auf die Grundidee der "Quantisierung" und die Form der Schrödinger Gleichung?

Erstes Indiz für eine Quantisierung stellen die Emissionslinien von Atomen dar. Die Balmer Formel beschreibt beim Wasserstoffatom die Energiedifferenz zwischen dem angenommenen nten und mten Niveaus,

Eigenartiger Weise scheint eine solche Formel, in der eine zunächst uninteressante Konstantensammlung beschreibt, innerhalb eines Atoms nur diskrete Übergänge zuzulassen. Es finden strahlende Übergänge bei bestimmten, von  den natürlichen Zahlen n und m abhängigen Positionen statt. Dies wurde natürlich experimentell beobachtet, und nicht Ergebnis irgendeiner Theorie. Es soll aber als Erfahrungsgrundlage in die Modelltheorie der Quantenmechanik miteinfließen.

Zentrale Bewegungsgleichungen können aus der Energieerhaltung gewonnen werden.

Die zentralen Bewegungsgleichungen der Mechanik bilden die Lagrange´schen Gleichungen, hier z.b. 2ter Art,

die sich aus einer Lagrange-Funktion L(,q,t) aufstellen lassen,

Mit der Hilfe der Lagrange-Funktion ließ sich ein Naturprinzip formulieren, daß der gesamten Physik auferlegt ist, das Hamilton Prinzip. Definiert man eine Wirkung, sprich eine Dimension Energie*Zeit in der Form,

so gilt stets,

Damit ist die erste Ableitung also Null, und es liegt ein Maximum oder Minimum vor, vorausgesetzt die Randbedingung sind vorher entsprechend formuliert.  In Worten bedeutet das Hamilton Prinzip dies:

Die Natur extremiert stets die Wirkung.

Dies ist eine Erfahrungstatsache, und kann daher nur als Prinzip formuliert werden. Interessant ist eine Betrachtung der Wirkungsfunktion S. Was kann alles in der Dimension Energie⨯Zeit geschrieben werden ? Z.b. das Produkt von Impuls und Ort, wie man leicht durch eine Einheitenbetrachtungen zeigen kann. Die Idee der Quantenhypothese von Bohr scheint jetzt klarer. Man nimmt an, daß die Wirkung selbst keine kontinuierliche Größe, sondern vielmehr in viele kleine Miniwirkungen gestückelt ist. Bohr ging nun von einer Quantelung eben dieser Wirkung aus, und formulierte seine Quantisierungsbedingung als,

Hier ist nε ÷±, p der generalisierte Impuls, q der Ort, und h eine Konstante, die Wirkungsquant heißt. Das ist aber genau die Idee, daß man nur noch Wirkungsstückchen zuläßt. Daher auch der Name der Konstanten h, Wirkungsquant. Man kann sich (6) als die Einpassung stehender Wellen in eine Kreisform vorstellen. Damit die Welle stetig geschlossen wird, können nur diskrete Wellenlängen zugelassen werden. Dies soll nun explizit gerechnet werden, denn das Ergebnis das wir herausbekommen sollten kennen wir bereits, es ist die oben stehende Balmer Formel, die zumindest Ansatzweise im Ergebnis wiederzuerkennen sein sollte. Anschaulich bedeutet die Quantisierung der Wirkung im Fall des Drehimpulses,

Aus der Krafterhaltung folgt,

 und für den Radius gilt 
        dann, 

Für n=1, also die erste Bahn ergibt dies den Bohrschen Radius.  Eingesetzt in (7) und umgeformt nach ergibt sich,

und für die Energie ergibt sich,

Die Energieniveaus eines Atoms sind diskret, nicht kontinuierlich.

Damit ergibt sich eine wichtige Voraussetzung, die die Theorie der Quantenmechanik erfüllen muß, wenn sie den Anspruch erheben will, richtig zu sein. Sie muß für das Wasserstoffatom eine Abhängigkeit der Form,

erfüllen. Später zeigt sich, daß dieses Ergebnis direkt aus der Lösung der Schrödinger Gleichung folgt, die im nächsten Abschnitt motiviert wird. Das Durchschreiten des Tors zur Quantenwelt erfordert einige drastische Änderungen in der Anschauung der physikalische Realität.Wir definieren psi(x,t) als eine komplexe Funktion, die einer Wellengleichung genügt. Mikroskopische Teilchen, wie z.b. das Elektron, werden nicht mehr klassisch als Teilchen interpretiert, sondern vielmehr durch eine solche Wellenfunktion psi identifiziert. psi sei zusätzlich so definiert, daß ihr Absolutquadrat die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens beschreibt,

Es fehlt nur noch eine Gleichung, die die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion erfaßt, also die Fortbewegung des "Teilchens", das jetzt ja schon kein Teilchen mehr ist. Eine Möglichkeit wäre natürlich die bekannte Wellengleichung zu nutzen,

Diese Gleichung ist sowohl in Zeit, als auch im Raum von zweiter Ordnung, und mitunter ist es schwer das Anfangswertproblem zu formulieren. Daher stellt man einige Forderungen an die Grundgleichung von psi.

Die Wellengleichung von psi soll von erster Ordnung in der Zeit sein. Sie darf nur psi als zeitliche Ableitung enthalten.
1.Sie soll komplex sein.
2.Sie soll eine partielle Differentialgleichung sein.

Nehmen wir an, wir hätten diese, alle Kleinstsysteme  beschreibende Gleichung bereits gefunden, dann muß man zwangsläufig fordern, daß für makroskopische Systeme die Quantentheorie in die klassische Theorie übergeht. Das wirft aber wiederum eine Frage auf, nämlich die nach dem Unterschied von der Quantenwelt und der Klassischen Welt.

Im Grenzfall großer Dimensionen muß die Quantentheorie in die klassische Theorie übergehen.

In einer Turnhalle hängen Medizinbälle an Seilen befestigt von der Decke herab. Schaltet man das Licht aus, so besteht erst einmal keine Möglichkeit herauszufinden wo die Bälle hängen. Nimmt man jedoch einige Basketbälle, und wirft sie durch die Halle, so kann man an dem Reflektionsverhalten der Bälle feststellen ob man einen Medizinball vor sich hat, in dem Moment wo man sich darüber klar wird, ist das Ergebnis aber schon falsch, denn durch die Kollision mit dem Basketball schwingt der Medizinball um seine Position, die also prinzipiell nicht scharf meßbar ist. Diese kleine Geschichte führt auf die,

Der Beobachter eines quantenmechanischen Systems wechselwirkt so stark mit dem System, daß keine unabhängige Existenz des Systems mehr vorliegt - "Kopenhagener Deutung".

 

Durch Ausprobieren kann nun die Schrödinger Gleichung mit obigen Forderungen gefunden werden. Wir definieren eine Wellenfuntkion psi,

Dann gilt durch Ableiten,

Über gleichsetzen führt auf die potentialunabhängige Schrödinger Gleichung,

Diese kurze Betrachtung zeigt, daß einer periodischen Funktion psi eine komplexe Ausbreitungsgleichung zugeschrieben werden kann. Ausgehend vom berühmten Doppelspaltversuch, bei dem Elektronen auf eine Blende mit Doppelspalt fallen, und deren Interferenzmuster untersucht werden, kann psi gedeutet werden. Schließt man einen Spalt, so erhält man auf dem Schirm eine räumliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich natürlich durch eine Intensitätsverteilung äußert. Die Wellenfunktion psi liefert damit eine Wahrscheinlichkeitsverteilung rho,

Der Doppelspalt zieht ein Interferenzmuster nach sich, daß dann also aus zwei Funktion und zustande kommt, mit

Überraschendes Resultat tatsächlicher Messungen ist dabei, daß eine Messung dasselbe Interferenzmuster ergibt, auch wenn nur ein einziges Elektron den Doppelspalt passierte.

Die wohl einfachste Begründung, warum die Schrödinger Gleichung genau so aussehen sollte, findet man in einem Vergleich folgender Größen,

würde für die Energie gelten

und für die kinetische Energie,

dann würde ja bereits die Schrödinger Gleichung allein aus der Energieerhaltung folgen.